Il casinò e l'assicurazione

Ho fatto un due giorni di corso interno (soliti temi, finanza&assicurazione) e il docente ha fatto un bel esempio.

Siamo al casinò, le regole sono:

- se viene testa vinci 110, se viene croce perdi 100. Sembra bene.
- si lancia 10 volte la moneta; ad ogni lancio si incassa o si paga se si perde.
- all'inizio devi lasciare una somma (o capitale) per garantire che riesci a pagare.
- all'uscita paghi il 10% della somma (capitale) versato all'inizio.

Come sappiamo ad ogni lancio ci sono 50% di probabilità (o 1 su 2, cioè 1/2 o 0.5) che esca croce e 50% che esca testa. Ad ogni lancio, perché i lanci sono indipendenti - se al primo lancio esce testa, al secondo c'è sempre la stessa probabilità (50%) che esca testa, perché la moneta "non ha memoria", cioè essa non ha idea di cosa sia uscito prima. In statistica si dice che i due eventi sono indipendenti.

Quindi su 10 lanci quale è il valore atteso, ovvero quanto dovrei vincere o perdere? Facile:

valore atteso = ( 50% x 110 + 50% x (-100) ) x 10 = 50

Vuol dire che in media mi aspetto di vincere 50, perché 5 volte dovrebbe uscire testa e 5 volte croce.
Bene.

Ora il problema è:
- ad ogni lancio si incassa/paga
- prima bisogna lasciare un deposito adeguato.

Bisogna calcolare la probabilità di perdere. Il procedimento è il seguente:
- al primo lancio la probabilità di perdere 100 e 1 su 2 (50%)
- la probabilità di perdere 200 al secondo lancio (cioè 100 al primo e 100 al secondo, cioè due croci di seguito) è 1/2 x 1/2, ovvero 1/4 o 25% o 0.25. Quindi ho il 25% di probabilità di perdere 200 e il 75% di non perdere
- così avanti: probabilità che esca croce anche al terzo lancio e quindi di perdere 300 è 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8 o 12.5% o 0.125.
- probabilità di perdere 400 è 1/16
- 500 è 1/32 o 3.125%
- 600 è 1/64 o 1.5625%
- 700 è 1/128 o 0.78125%
- 800 è 1/256 o 0.391%
- 900 è 1/512 o 0.195%
- 1000 è 1/1024 o 0.0977%

Questo è il profilo di rischio, cioè per ogni possibile evento negativo corrisponde la probabilità che si verifichi.

Come si calcola il capitale? Serve conoscere la tolleranza al rischio.

Ora, se io sono ottimista e penso di vincere posso versare 100. Però se perdo la prima volta ho già perso il capitale e se perdo anche la seconda (probabilità del 25%) arrivano i dipendenti del casinò con le loro belle mazze di baseball a spaccarmi le rotule.

Quindi magari sono un po' più prudente e magari verso 500. In questo modo ho solo il 3.125% di probabilità di perdere 500, ovvero ho il 96.975% probabilità di non perdere 500. Quindi diciamo che sono parecchio sicuro.

Però c'è la clausola che all'uscita devo pagare il 10% del capitale versato. Quindi in media mi aspetto di incassare 50 (il valore atteso di cui sopra) e all'uscita pago 10% x 500 = 50.
Ho vinto qualche cosa?
No. Mi sono divertito a giocare e sono uscito con le rotule integre. Mi conviene giocare? Non direi.

Abbassando il capitale investito, diciamo a 300 ho il 12.5% di probabilità di perderlo entro il terzo lancio. Gioco e rischio le rotule o no? Dipende dalla tolleranza al rischio. Se tollero bene il rischio di incorrere in uno scontro con le mazze di baseball gioco e rischio.

Bene. Ed ora il lettore attento che nonostante i numeri sta ancora leggendo, si chiederà "e l'assicurazione?".

Buona domanda. Bravo lettore.

In fondo l'assicurazione è basata sulla probabilità e un fattore importante è quanto capitale serve (tipo si sente parlare di Solvency II).

Consideriamo la storia sulla probabilità di perdere al casinò come la probabilità di dover pagare danni. Le assicurazioni devono avere un capitale tale per cui riescono ad essere solvibili (cioè pagare i danni agli assicurati) nel 99.5% dei casi. Nell'esempio sopra equivarrebbe ad avere un capitale tra 700 ed 800. Molto prudente. Per semplificare si dice avere un capitale sufficiente per sopravvivere ad eventi che succedono ogni 200 anni (99% sarebbe 1 ogni 100 anni), perché si considera la sopravvivenza annuale.

Ovviamente le similitudini coi casinò è limitata, serve solo per spiegare la tolleranza al rischio, il profilo di rischio e come contribuiscano a definire il capitale necessario. Penso la migliore e più semplice spiegazione che ho mai sentito su questo argomento, per questa me la sono scritta qui anche se credo di aver annoiato a  morte il lettore medio - non ci sei più vero?